MÓDULO 2
SECCIÓN 4
Herramientas pedagógicas
El conocimiento técnico y al apropiación de las herramientas de GeoGebra, bajo una perspectiva pedagógica, debe acompañarse de información histórica relacionada con los conceptos matemáticos abordados. Una manera de incorporar esta información, que el alumno agregará a su bagaje cultural, es a través de la palabra del docente en una técnica llamada Storytelling.
Las cónicas
Apolonio de Perga (-262, -190), conocido mejor como El gran Geómetra, es considerado uno de los tres grandes matemáticos del helenismo junto a Euclides y Arquímedes. Dedicó mucha parte de su esfuerzo en la exploración de las propiedades de las cónicas, estudios en los que matemáticos de la talla de Fermat, se basaron para desarrollar la geometría analítica.
A cortar un cono con un plano, es posible obtener distintas secciones llamadas curvas cónicas. Estas curvas, como las concibió Apolonio, son:
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Circunferencia.
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Elipse
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Parábola
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Hipérbola
Fué hasta el siglo XVI, cuando René Descartes asoció cada curva cónica con una ecuación.
Tratamiento didáctico
Empezaremos por desarrollar un interactivo que permita explorar la relación entre las distintas curvas cónicas. Esta actividad la enmarcaremos en un contexto que permita a los estudiantes, dar significado a cada trazo logrado.
La zona de chute.
Iniciemos en GeoGebra en el modo de vista gráfica.
Requeriremos dos imágenes necesarias. Una cancha de futbol y un futbolista (preferentemente en formato png y sin fondo).
El interactivo debe tener la siguiente estructura:
En el Aula
Sugerencias didácticas.
1. El primer acercamiento del estudiante con el interactivo debe ser a modo de exploración. El proceso de habituarse a su uso, de apropiarse de dicha herramienta, es un fenómeno que especialistas como Luc Trouché denominan instrumentación.
En este sentido, una actividad exploratoria consiste en que el estudiante empiece moviendo al futbolista en una posición determinada. Esa posición determinará un ángulo de tiro con respecto a los postes de la portería. Hecho esto, cabe preguntar;
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¿Qué posición garantiza una ángulo de tiro mayor?
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¿Dada una posición definida, ¿cómo obtener un ángulo de tiro mayor? ¿y uno menor?
2. Un reto que requiere mayor destreza consiste en colocar los 5 balones en posiciones distintas pero que compartan el mismo ángulo de tiro.
Dada la solución, pida que activen el lugar geométrico de la zona de chute y que los alumnos, con sus propias palabras, describan las propiedades de la figura obtenida.
3. Un tercer reto consiste en mover los balones y obtener todas las figuras posibles con el lugar geométrico. La respuesta, como usted podrá confirmar es 4: la parábola, la elipse, la circunferencia y la hipérbola. Es decir, las curvas cónicas están conectadas a través de este interactivo.
4. El cuarto reto consiste en ocultar la cancha y el futbolista y explorar las cónicas a través de las distintas posiciones de los 5 puntos. Los estudiantes construirán la siguiente conjetura:5 puntos determinan una cónica (siempre y cuando tres de los puntos no estén alineados). Esta propiedad es, en realidad, un teorema: El teorema de los 5 puntos.
5. Una quinta exploración permitirá al estudiante conjeturar el famoso Teorema de pascal: Si en una cónica se inscribe un hexágono, las prolongaciones de sus lados se intersecan en tres puntos. Estos puntos están alineados.
6. Una exploración más puede llevar a los alumnos a conjeturar el Teorema de Brianchon: Dado un hexágono circunscrito a una cónica, los tres pares de vértices opuestos determinan rectas que pasan por un mismo punto, llamado punto de Brianchon.
Otra visión dinámica
Podemos admirar las relaciones entre las curvas cónicas desde diversos ámbitos. A continuación, describiremos una construcción mas formal.
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Sea C una circunferencia con centro F1 y que pasa por A.
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Sea F2 un punto arbitrario y B un punto sobre C.
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Sea P la intersección entre la recta F1B y la mediatriz de F2B.
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El lugar geométrico de P cuando se mueve B, es una cónica.
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Al activar la animación sobre B, será posible admirar el desplazamiento de la mediatriz. ¿Qué papel desempeña en la cónica obtenida?
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Desplace F2 para explorar las distintas curvas.¿Qué sucede cunado F2 es interno o externo a la circunferencia?
Mi interactivo "La zona de chute" en la nube.
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Si el interactivo cumple con las especificaciones solicitadas en la primera parte de esta sección, recibirá la retroalimentación en su teléfono y el acceso a la siguiente sección.